Modelos - Punto Extra

1 Intrucciones

Considera dos variables \(X\) y \(Y\) con distribución exponencial donde una tiene valor esperado que sea el doble del valor esperado de la otra (tú decides el parámetro).

1. Escoge al menos 5 tipos de cópulas para modelar la dependencia entre ellas, para cada cópula escoge parámetros que reflejen una dependencia negativa y una dependencia positiva (en total tendrás 10 modelos). Para cada uno de los 10 modelos:
   1. Muestra la función de distribución conjunta de \(X\) y \(Y\) (la fórmula).
   2. Grafica la función de densidad conjunta de \(X\) y \(Y\).
   3. Varianza de \(X\), \(Y\) y \(X + Y\).
   4. Desviación estándar de \(X\), \(Y\) y \(X + Y\).
   5. Cuantil al 95% de \(X\), \(Y\) y \(X + Y\).
   6. Valor esperado condicional de la cola al 95% de \(X\), \(Y\) y \(X + Y\).
2. Repite el inciso anterior; pero ahora considera que \(X\) y \(Y\) tienen distribución pareto donde una tiene valor esperado que sea el doble del valor esperado de la otra (tú decides los parámetros).

2 Solución

2.1 Caso Exponencial

Tenemos las siguientes variables aleatorias:

\[X\sim \textbf{Exp}(\lambda)\]

\[Y\sim \textbf{Exp}(2\lambda)\]

donde \(F_{x}(x)=1-e^{-\lambda x}\) y \(F_{y}(y)=1-e^{-2\lambda y}\)

Código

library(copula)
library(lattice)
library(plotly)
source("codigo.R")

# Exponential distribution for both marginals
lambda <- 1
# Parameters for the marginals
# You can adjust these parameters as needed
params1 <- lambda # Rate for the first exponential distribution
params2 <- 2*lambda # Rate for the second exponential distribution

2.1.1 Cópula Gaussiana

\[C(u,v)=\Phi_{2}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v), \rho)\]

donde \(\Phi_{2}\) es la función de distribución conjunta de una distribución normal bivariada con media cero y varianza uno y correlación \(\rho\) (esta determinará la relación negativa o positiva de las variables); y \(\Phi\) es la función de distribución de una distribución normal estándar.

2.1.1.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \Phi_{2}\left(\Phi^{-1}(1 - e^{-\lambda x}), \Phi^{-1}(1 - e^{-2\lambda y}); \rho \right)\]

2.1.1.2 Función de densidad conjunta

Código

library(copula)

rho =.9

# Definir cópula gaussiana
myCopulaP1 <- normalCopula(rho, dim = 2)
myCopulaN1 <- normalCopula(-rho, dim = 2)

# Generar muestras de la cópula
seed <-191654
n=10000
set.seed(seed)
samples <- rCopula(n, myCopulaP1) # caso positivo
samples2 <- rCopula(n, myCopulaN1) # caso negativo

# Convertir las muestras a distribuciones exponenciales

## caso positivo
samples[,1] <- qexp(samples[,1], rate = params1)
samples[,2] <- qexp(samples[,2], rate = params2)

## caso negativo
samples2[,1] <- qexp(samples2[,1], rate = params1)
samples2[,2] <- qexp(samples2[,2], rate = params2)


library(ks)

# Estimación de la densidad
dens <- kde(as.matrix(samples)) # caso positivo
dens2 <- kde(as.matrix(samples2)) # caso negativo

library(plotly)

# Convertir la estimación de densidad a un formato adecuado

## caso positivo
x <- dens$eval.points[[1]] 
y <- dens$eval.points[[2]]
z <- matrix(dens$estimate, nrow = length(x), ncol = length(y))
## caso negativo
x2 <- dens2$eval.points[[1]] 
y2 <- dens2$eval.points[[2]]
z2 <- matrix(dens2$estimate, nrow = length(x2), ncol = length(y2))

2.1.1.2.1 Caso Positivo

Código

## caso positivo
persp(x, y, z, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "lightblue",
      xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "Z")

2.1.1.2.2 Caso Negativo

Código

persp(x2, y2, z2, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "salmon",
      xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "Z")

2.1.1.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP1, myCopulaN1)

2.1.1.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples1 <- simulacionSamples(myCopulaP1,myCopulaN1, 1000000)

list_tablas1<-imprimirResultadosTabla(samples1[[1]], samples1[[2]])

2.1.1.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas1[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	2.135475
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.461326
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	4.417769
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	5.854601

2.1.1.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas1[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	0.6541363
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	0.8087869
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.0897296
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.0403701

2.1.2 Cópula t-Student

\[C(u,v)=\textbf{t}_{\nu}(\textbf{t}_{\nu}^{-1}(u),\textbf{t}_{\nu}^{-1}(v); \rho)\]

donde \(\textbf{t}_{\nu}(;\rho)\) es la función de distribución conjunta de una distribución t-Student bivariada estandarizada y con correlación \(\rho\) (esta determinará la relación negativa o positiva de las variables); y \(\textbf{t}_{\nu}\) es la función de distribución de una distribución univaria t-Student.

2.1.2.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \textbf{t}_{\nu}(\textbf{t}_{\nu}^{-1}(1 - e^{-\lambda x}), \textbf{t}_{\nu}^{-1}(1 - e^{-2\lambda y}); \rho)\]

2.1.2.2 Función de densidad conjunta

Código

# Parámetros de la cópula y las distribuciones marginales
rho = 0.9
df = 4 # Grados de libertad para la cópula t de Student

# Definir cópulas t de Student
myCopulaP2 <- tCopula(rho, dim = 2, df = df)
myCopulaN2 <- tCopula(-rho, dim = 2, df = df)

# Generar muestras de la cópula
set.seed(seed)
samples <- rCopula(n, myCopulaP2) # caso positivo
samples2 <- rCopula(n, myCopulaN2) # caso negativo

# Convertir las muestras a distribuciones exponenciales

## caso positivo
samples[,1] <- qexp(samples[,1], rate = params1)
samples[,2] <- qexp(samples[,2], rate = params2)

## caso negativo
samples2[,1] <- qexp(samples2[,1], rate = params1)
samples2[,2] <- qexp(samples2[,2], rate = params2)


library(ks)

# Estimación de la densidad
dens <- kde(as.matrix(samples)) # caso positivo
dens2 <- kde(as.matrix(samples2)) # caso negativo

library(plotly)

# Convertir la estimación de densidad a un formato adecuado

## caso positivo
x <- dens$eval.points[[1]] 
y <- dens$eval.points[[2]]
z <- matrix(dens$estimate, nrow = length(x), ncol = length(y))
## caso negativo
x2 <- dens2$eval.points[[1]] 
y2 <- dens2$eval.points[[2]]
z2 <- matrix(dens2$estimate, nrow = length(x2), ncol = length(y2))


# Crear gráficos interactivos con plotly
p3 <- plot_ly(x = ~x, y = ~y, z = ~z) %>% add_surface()
p4 <- plot_ly(x = ~x2, y = ~y2, z = ~z2) %>% add_surface()

2.1.2.2.1 Caso Positivo

Código

## caso positivo
persp(x, y, z, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "lightblue",
      xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "Z")

2.1.2.2.2 Caso Negativo

Código

persp(x2, y2, z2, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "salmon",
      xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "Z")

2.1.2.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP2, myCopulaN2)

2.1.2.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples2 <- simulacionSamples(myCopulaP2,myCopulaN2, 1000000)

list_tablas2<-imprimirResultadosTabla(samples2[[1]], samples2[[2]])

2.1.2.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas2[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	2.138581
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.462389
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	4.403292
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	5.869733

2.1.2.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas2[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	0.6541808
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	0.8088144
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.0883376
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.0363561

2.1.3 Arquimediana Clayton

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=\frac{1}{\theta}\left(t^{-\theta}-1\right)\)

2.1.3.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \max \left\{ \left((1 - e^{-\lambda x})^{-\theta} + (1 - e^{-2\lambda y})^{-\theta} - 1\right)^{-1/\theta}, 0 \right\}\]

2.1.3.2 Función de densidad conjunta

Código

# Definir parámetros de la cópula de Clayton
theta1 = 2 #  dependencia positiva
theta2 = -.9 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP3 <- claytonCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN3 <- claytonCopula(theta2, dim = 2)

grafCopula3 <- graficaDensidadCopulas(myCopulaP3,myCopulaN3)

2.1.3.2.1 Caso Positivo

Código

grafCopula3[[1]]

2.1.3.2.2 Caso Negativo

Código

grafCopula3[[2]]

2.1.3.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP3, myCopulaN3)

2.1.3.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples3 <- simulacionSamples(myCopulaP3,myCopulaN3, 1000000)

list_tablas3<-imprimirResultadosTabla(samples3[[1]], samples3[[2]])

2.1.3.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas3[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	1.697673
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.302948
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	4.052183
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	5.102655

2.1.3.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas3[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	0.6894150
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	0.8303102
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.1770782
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.1452956

2.1.4 Arquimediana Frank

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=-\ln\frac{e^{-\theta u}-1}{e^{-\theta }-1}\)

2.1.4.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = -\frac{1}{\theta} \ln \left( 1 + \frac{(e^{-\theta (1 - e^{-\lambda x})} - 1)(e^{-\theta (1 - e^{-2\lambda y})} - 1)}{e^{-\theta} - 1} \right)\]

2.1.4.2 Función de densidad conjunta

Código

theta1 = 10 #  dependencia positiva
theta2 = -15 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP4 <- frankCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN4 <- frankCopula(theta2, dim = 2)

grafCopula4 <- graficaDensidadCopulas(myCopulaP4,myCopulaN4)

2.1.4.2.1 Caso Positivo

Código

grafCopula4[[1]]

2.1.4.2.2 Caso Negativo

Código

grafCopula4[[2]]

2.1.4.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP4, myCopulaN4)

2.1.4.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples4 <- simulacionSamples(myCopulaP4,myCopulaN4, 1000000)

list_tablas4<-imprimirResultadosTabla(samples4[[1]], samples4[[2]])

2.1.4.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas4[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	1.980368
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.407255
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	4.375804
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	5.524611

2.1.4.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas4[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	0.6440756
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	0.8025432
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.0969294
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.0613070

2.1.5 Arquimediana Ali-Mikhail-Haq (AMH)

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=\ln\frac{1-\theta(1-u)}{u}\)

2.1.5.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) =\frac{(1 - e^{-\lambda x})(1 - e^{-2\lambda y})}{1 - \theta (e^{-\lambda x})((e^{-2\lambda y}))} \]

2.1.5.2 Función de densidad conjunta

Código

theta1 = 1 #  dependencia positiva
theta2 = -1 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP5 <- amhCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN5 <- amhCopula(theta2, dim = 2)

grafCopula5 <- graficaDensidadCopulas(myCopulaP5,myCopulaN5)

2.1.5.2.1 Caso Positivo

Código

grafCopula5[[1]]

2.1.5.2.2 Caso Negativo

Código

grafCopula5[[2]]

2.1.5.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP5, myCopulaN5)

2.1.5.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples5 <- simulacionSamples(myCopulaP5,myCopulaN5, 1000000)

list_tablas5<-imprimirResultadosTabla(samples5[[1]], samples5[[2]])

2.1.5.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas5[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	1.538654
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.240425
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.913804
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.938352

2.1.5.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas5[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	1.020630
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.010263
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.427828
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.367090

2.2 Caso Pareto

Tenemos las siguientes variables aleatorias:

\[X\sim \textbf{Pareto}(\alpha, 2\nu)\]

\[Y\sim \textbf{Pareto}(\alpha, \nu)\]

donde \(F_{x}(x)=1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\) y \(F_{y}(y)=1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\)

Código

library(actuar)
# Params of a pareto
nu <- 1
pareto_params1 <- 2*nu 
pareto_params2 <- nu 

alpha <- 3

2.2.1 Cópula Gaussiana

\[C(u,v)=\Phi_{2}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v))\]

2.2.1.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \Phi_{2}\left(\Phi^{-1}\left(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\right), \Phi^{-1}\left(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\right); \rho \right)\]

2.2.1.2 Función de densidad conjunta

Código

rho =.9

# Definir cópula gaussiana
myCopulaP1 <- normalCopula(rho, dim = 2)
myCopulaN1 <- normalCopula(-rho, dim = 2)

pgrafCopula1 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP1,myCopulaN1)

2.2.1.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula1[[1]] 

2.2.1.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula1[[2]]

2.2.1.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP1, myCopulaN1)

2.2.1.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples6 <- simulacionSamples2(myCopulaP1,myCopulaN1, 1000000)

list_tablas6<-imprimirResultadosTabla2(samples6[[1]], samples6[[2]])

2.2.1.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas6[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	5.914461
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	2.431967
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	5.087396
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	8.946431

2.2.1.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas6[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	2.960674
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.720661
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	3.828810
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.621482

2.2.2 Cópula t-Student

\[C(u,v)=\textbf{t}_{\nu}(\textbf{t}_{\nu}^{-1}(u),\textbf{t}_{\nu}^{-1}(v); \rho)\]

donde \(\textbf{t}_{\nu}(;\rho)\) es la función de distribución conjunta de una distribución t-Student bivariada estandarizada y con correlación \(\rho\) (esta determinará la relación negativa o positiva de las variables); y \(\textbf{t}_{\nu}\) es la función de distribución de una distribución univaria t-Student.

2.2.2.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \textbf{t}_{\nu}\left(\textbf{t}_{\nu}^{-1}(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}), \textbf{t}_{\nu}^{-1}(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}); \rho \right)\]

2.2.2.2 Función de densidad conjunta

Código

# Parámetros de la cópula y las distribuciones marginales
rho = 0.9
df = 4 
# Definir cópulas t de Student
myCopulaP2 <- tCopula(rho, dim = 2, df = df)
myCopulaN2 <- tCopula(-rho, dim = 2, df = df)

pgrafCopula2 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP2,myCopulaN2)

2.2.2.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula2[[1]] 

2.2.2.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula2[[2]]

2.2.2.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP2, myCopulaN2)

2.2.2.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples7 <- simulacionSamples2(myCopulaP2,myCopulaN2, 1000000)

list_tablas7<-imprimirResultadosTabla2(samples7[[1]], samples7[[2]])

2.2.2.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas7[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	7.204330
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	2.684088
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	5.057448
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	9.021036

2.2.2.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas7[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	2.812011
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.676905
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	3.817036
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.559754

2.2.3 Arquimediana clayton

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=\frac{1}{\theta}\left(t^{-\theta}-1\right)\)

2.2.3.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \max \left\{\left( \left(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\right)^{-\theta} + \left(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\right)^{-\theta} - 1\right)^{-1/\theta}, 0 \right\}\]

2.2.3.2 Función de densidad conjunta

Código

# Definir parámetros de la cópula de Clayton
theta1 = 2 #  dependencia positiva
theta2 = -.9 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP3 <- claytonCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN3 <- claytonCopula(theta2, dim = 2)

pgrafCopula3 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP3,myCopulaN3)

2.2.3.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula3[[1]] 

2.2.3.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula3[[2]]

2.2.3.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP3, myCopulaN3)

2.2.3.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples8 <- simulacionSamples2(myCopulaP3,myCopulaN3, 1000000)

list_tablas8<-imprimirResultadosTabla2(samples8[[1]], samples8[[2]])

2.2.3.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas8[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	4.249083
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	2.061330
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	4.797456
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	7.755103

2.2.3.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas8[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	2.787991
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.669728
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	3.907986
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.666727

2.2.4 Arquimediana Frank

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=-\ln\frac{e^{-\theta u}-1}{e^{-\theta }-1}\)

2.2.4.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = -\frac{1}{\theta} \ln \left( 1 + \frac{\left(e^{-\theta \left(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\right)} - 1\right)\left(e^{-\theta \left(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\right)} - 1\right)}{e^{-\theta} - 1} \right)\]

2.2.4.2 Función de densidad conjunta

Código

theta1 = 10 #  dependencia positiva
theta2 = -15 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP4 <- frankCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN4 <- frankCopula(theta2, dim = 2)

pgrafCopula4 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP4,myCopulaN4)

2.2.4.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula4[[1]] 

2.2.4.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula4[[2]]

2.2.4.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP4, myCopulaN4)

2.2.4.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples9 <- simulacionSamples2(myCopulaP4,myCopulaN4, 1000000)

list_tablas9<-imprimirResultadosTabla2(samples9[[1]], samples9[[2]])

2.2.4.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas9[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	4.884110
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	2.210002
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	5.171843
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	8.394538

2.2.4.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas9[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	2.722285
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.649935
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	3.845165
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.594506

2.2.5 Arquimediana Ali-Mikhail-Haq (AMH)

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=\ln\frac{1-\theta(1-u)}{u}\)

2.2.5.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) =\frac{\left(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\right)\left(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\right)}{1 - \theta \left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}} \]

2.2.5.2 Función de densidad conjunta

Código

theta1 = 1 #  dependencia positiva
theta2 = -1 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP5 <- amhCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN5 <- amhCopula(theta2, dim = 2)

pgrafCopula5 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP5,myCopulaN5)

2.2.5.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula5[[1]] 

2.2.5.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula5[[2]]

2.2.5.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP5, myCopulaN5)

2.2.5.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples10 <- simulacionSamples2(myCopulaP5,myCopulaN5, 1000000)

list_tablas10<-imprimirResultadosTabla2(samples10[[1]], samples10[[2]])

2.2.5.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas10[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	3.883578
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.970679
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	4.636741
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	7.517049

2.2.5.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas10[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	3.240588
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.800163
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	4.118832
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.869987